5.4.-VIBRACIONES FORZADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD.-

Es la que ocurre cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.

La fuerza o el desplazamiento varían en el tiempo y pueden ser de diferentes tipos, en el presente capitulo, solo estudiaremos los casos cuando sean del tipo armónico o polinómico.

Ver animación : De movimiento vibratorio forzado

5.4.1.- Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.-

5.4.1.1.- Para fuerzas, o desplazamientos de base o cimentación armónicas:

i).- Si,

ii).- Si,

En donde, es la frecuencia o pulsación de la fuerza excitatriz o del desplazamiento, F₀ o K b amplitud de la fuerza excitatriz o del desplazamiento respectivamente.

La frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico.

El problema general consiste en determinar la elongación como función del tiempo, X(t) para una posición y velocidad iniciales.

Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden y de coeficientes constantes, cuya solución está dado por:

Donde X_C es la solución complementaria que satisface a la ecuación homogénea, o sea, la ecuación 5.4.1.1.0.1 igualado a cero: y X_P es la solución particular de la ecuación no homogénea, ecuación 5.4.1.1.0.1, la solución complementaria se tiene en la parte de vibraciones libres.

a).- Para fuerzas del tipo armónico.-

Sabemos, que:

La solución particular,es la que se denomina estado estacionario sinusoidal, en la cual la elongación oscila con la misma frecuencia que la fuerza oscilante (no con su frecuencia propia, ), la naturaleza de la función forzada en la ecuación 5.4.1.1.0.1 sugiere que se tome como solución particular:

Donde X₀ es el valor máximo o amplitud de la solución particular. La aplicación de la ecuación 5.4.1.1.0.4 en la ecuación 5.4.1.1.0.1 seguida de la simplificación de factores comunes nos dará X₀.

Derivándole dos veces 5.4.1.1.0.4, respecto al tiempo y sustituyendo en 5.4.1.1.0.1:

Eliminando el factor y despejando "X₀", tenemos:

Luego:

Si designamos a (relación de frecuencia o razón de frecuencia o cociente de pulsación) en 5.4.1.1.0.5 y 5.4.1.1.0.7 se tiene:

ó

Si resolvemos 5.4.1.1.0.10, para las condiciones iníciales en t = 0 y tomando X₀ = 0 y V₀ = 0, las constantes de integración determinadas para la ecuación, son:

y

Después de aplicada a la ecuación 5.4.1.1.0.10 da:

En la ecuación 5.4.1.1.0.11 se puede ver que la respuesta viene dada por la superposición de dos términos armónicos de frecuencias diferentes. Por lo tanto, el movimiento resultante no es armónico; sin embargo, en casos reales, las fuerzas de amortiguamiento estarán siempre presentes en el sistema y harán que el segundo término, con frecuencia libre , desaparezca eventualmente, por esta razón, este término se denomina respuesta transitoria. El término con la frecuencia forzada en la ecuación 5.4.1.1.0.11:

Se le conoce con el nombre de respuesta permanente. Es evidente que en el caso de un sistema sin amortiguamiento, la componente transitoria de la solución no desaparece y por lo tanto, la respuesta está dada por los términos de la ecuación 5.4.1.1.0.11. Se puede observar también, en la ecuación 5.4.1.1.0.11, o en la ecuación 5.4.1.1.0.12, que cuando la frecuencia forzada es igual a la frecuencia natural (= 1), la amplitud del movimiento tiende aumentar infinitamente. Un sistema que actúa bajo una excitación con una frecuencia forzada que coincide con la frecuencia natural se dice que está en resonancia, la amplitud aumenta gradualmente hacia el infinito. Sin embargo, los materiales comúnmente en la práctica están sujetos a límites de resistencia y los fallos estructurales ocurrirán mucho antes de que la amplitudes puedan alcanzar valores extremadamente altos.

Factor dinámico de amplificación (Factor de amplificación o índice de amplitud) (M).- Es la relación entre la amplitud X₀ y la deformación estática o desplazamiento estático (desplazamiento que tendría m bajo la acción de una fuerza constante F₀) o sea:

Representa el número de veces que la amplitud de la oscilación dinámica es mayor de la deformación estática.

Dependiendo del sistema que se esté estudiando, puede interesar una cosa o la otra. Así, para un receptor de radio, interesa que se amplifiquen las frecuencias de las señales de la frecuencia deseada, y no las del resto, esto se consigue ajustando principalmente dos parámetros, la frecuencia propia del oscilador y su coeficiente de amortiguamiento, definidos por:

La amplitud de la elongación, en términos de la frecuencia propia y del factor de amortiguamiento queda en la forma

Cuando , la amplitud de las oscilaciones tiende a

que es el comportamiento que uno obtiene para una fuerza no oscilante, como el peso, para el cual la frecuencia sería estrictamente nula.

Representación gráfica:

Amplitud de la elongación en una escala logarítmica.

Si . Para frecuencias altas la amplitud tiende a cero

Esto quiere decir que si un oscilador lo excitamos mediante una fuerza cuya frecuencia sea mucho mayor que la propia del oscilador, éste prácticamente no se ve afectado.

Para valores intermedios de la frecuencia, de valor comparable a la frecuencia propia , podemos tener un máximo de amplitud o no tenerlo dependiendo del grado de amortiguamiento. La amplitud es máxima cuando lo que hay dentro de la raíz del denominador es mínimo, lo cual ocurre para

como se comprueba sin más que derivar el radicando e igualar a cero.

Este resultado nos dice que para que haya un máximo en la amplitud debe ser

esto es, no solo debe ser subamortiguado, sino con un amotiguamiento bastante inferior al crítico.

Si se cumple esta condición, la amplitud el máximo es

Esta amplitud máxima diverge cuando . Se dice que el sistema posee una resonancia en la amplitud.

Representaciones gráficas:

En el gráfico:

Carga estática.- . La carga es también esencialmente estática cuando , pues entonces .

Resonancia.-

Excitación de alta frecuencia.- . La masa permanece esencialmente estacionaria debido a su inercia ( el sistema no puede reaccionar con suficiente rapidez).

Relaciones de fase.- El signo del factor de amplificación indica si la dirección del movimiento de la masa vibratoria es la misma que de la fuerza o desplazamiento excitador. La vibración está en fase cuando , y está a 180° fuera de fase cuando (oposición de fase).

M tiende al infinito cuando tiende a físicamente este significa que la amplitud del movimiento llegaría a limites del resorte del sistema.

, M es positiva y la oscilación está en fase con F_(t).

, M es negativa y la oscilación está en oposición de fase (desfasado 180º) con la fuerza.

b).- Movimiento armónico de apoyo.- La causa de las vibraciones forzadas no tiene por qué ser exclusivamente una fuerza periódica aplicada directamente a la masa del sistema. Ya que en muchos sistemas, las vibraciones forzadas las originan el movimiento periódico del soporte en que se apoya el sistema y no una fuerza aplicada directamente. En la ecuación 5.4.1.1.0.2, tenemos las ecuaciones diferencial correspondiente, cuya solución es similar a lo tratado para fuerzas armónicas, para su solución basta con reemplazar F₀ por Kb.