INTRODUCCIÓN.- Vibración es el termino que utilizamos para describir las oscilaciones de un sistema mecánico. Ella puede ser descompuesta en componentes, cada una de las cuales tiene una magnitud y una frecuencia asociadas. La frecuencia se define en termino de ciclos por unidad de tiempo. La magnitud se define en términos de amplitud. Si la señal sigue un patrón que se repite en el tiempo, hablamos de señal periódica. En caso contrario hablamos de señal compleja.

Las vibraciones pueden ser descritas como deterministas o como aleatorias. Las señales deterministas permiten predecir con exactitud lo que pasará en el futuro próximo, a partir de lo que ha pasado anteriormente. Si es aleatoria, su valor solo puede ser estimado en forma estadística.

Las vibraciones también pueden ser clasificadas como libres o forzadas. En el primer caso las vibraciones son causa de una perturbación inicial, luego de la cual no entra energía al sistema.

Veremos que podemos modelar un sistema como conservativo, vale decir en el cual no hay disipación de energía. Las estructuras reales siempre tienen algún nivel de disipación, a la cual llamaremos amortiguación. Ello induce respuestas transientes en el sistema, que desaparecen en el tiempo. Contrariamente, las vibraciones forzadas llegan a un estado estacionario (steady-state) debido a que entra tanta energía al sistema como la que sale por efectos de la amortiguación.

En general, la frecuencia a la cual la energía es entregada al sistema aparece en las respuestas del mismo. La respuesta está dada por la relación que hay entre la excitación y las propiedades del sistema.

Figura F5-1.1a.- Modos de vibración de un edificio

Recordemos también que las vibraciones pueden ser deseables o no en el funcionamiento de una máquina. Ejemplos de las zarandas vibratorias. Sin embargo lo usual es lo contrario: las vibraciones implican cargas dinámicas extras para un sistema, como es la fatiga.

Figura F5-1.1b.-Toda Máquina Vibra

El control de las vibraciones puede ser categórizado en 3 grupos:

Para poder analizar en profundidad es necesario conocer las características modales del sistema. Esto es conocido como análisis modal experimental. Se ve, que una vez identificadas las frecuencias naturales y modos propios de una máquina o estructura esta información sera útil para:

El aspecto más importante del análisis de vibraciones es el calculo o la medición de las frecuencias naturales de los sistemas mecánicos. Para sistemas simples es conveniente usar los resultados presentados en referencias tales como Harris’96 [20] o Blevins’93 [7]. Para sistemas complejos es necesario recurrir al calculo via técnicas como los elementos finitos.

Harris, C.M.,Shock and Vibration Handbook,Ch.2, 4th ed., Mc-Graw-Hill, 1996.

Geradin, M., Rixen, D. Mechanical Vibrations, Wiley, 2nd edition, 1997.

5.1.- SISTEMAS VIBRATORIOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1.1.- Introducción.- Vibración es un término usado para describir movimientos de traslación y/o rotación oscilatorios de un cuerpo o de un sistema de cuerpos en direcciones alternativamente opuestas, respecto a su posición de equilibrio estático.

Las vibraciones son causadas por fuerzas perturbadoras o de excitación (puntuales, aisladas o fluctuantes), que crea en el sistema un desplazamiento con respecto a su posición de equilibrio, los desplazamientos producidos genera un sistema de fuerzas recuperadoras (fuerzas elásticas, como el caso de una masa unida a un resorte o bien fuerzas gravitatorias como el caso del péndulo), que tienden a llevar al sistema a su posición de equilibrio. Al cesar o fluctuar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas recuperadores aceleran al sistema hacia su posición de equilibrio, al cual llegan con una velocidad determinada, que hace sobrepasar está posición, de está manera se genera un movimiento vibratorio u oscilatorio, que puede disminuir, mantenerse o aumentar, según se presente o no fuerzas de resistencia o amortiguamiento.

Figura F5-1.1c.- Cuerpo elástico continuo

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales, para los lineales rige el principio de superposición y los términos matemáticos para su tratamiento están bien desarrollados, en contrario para los no lineales son menos conocidos y difícil de aplicarse, sin embargo, algunos conocimientos del sistema no lineal es deseable puesto que todo los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de oscilación.

El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición en el espacio y en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema. Cuando se trata de sistemas rígidos, en los cuales no puede haber desplazamiento relativo entre las partículas de masa, las propiedades de la masa se pueden describir referidas a su centro de masa. Esto conduce a lo que se conoce como sistemas de masa concentrada. Cuando la masa hace parte de un elemento flexible tenemos un sistema de masa distribuida y por consiguiente se puede hablar de un número infinito de grados de libertad.

Para poder describir el movimiento físico de un sistema se necesita elegir un conjunto de variables o coordenadas, las cuales se conocen con el nombre de coordenadas generalizadas. Por regular, se representa mediante el símbolo q_k, que dependen de los grados de libertad.

El movimiento de una partícula libre, se describe mediante las coordenadas generalizadas q₁ = x_p, q₂ = y_p y q₃ = z_p. En este caso, las tres coordenadas son necesarias para describir el movimiento del sistema. La cantidad mínima de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimiento de un sistema se denomina grados de libertad del sistema. Así, una partícula libre que experimenta un movimiento general en el espacio, tiene tres grados de libertad.
En la figura F5-1.1d se muestra un péndulo en el plano. El punto pivote de este péndulo en (x_t, y_t, 0) y el péndulo tiene una longitud L. En este caso, se eligen como coordenadas x_p y y_p. No obstante, como la longitud del péndulo es constante, estas coordenadas no son independiente entre sí porque:

 

Figura F5-1.1d

 

La ecuación es un ejemplo de una ecuación de restricción, que en este caso, es una restricción geométrica. El movimiento del péndulo en el plano se describe por medio de x_p o y_p. Como , entonces se puede utilizar la variable para describir el movimiento del péndulo, la cual es una coordenada independiente que califica como coordenada generalizada. Como sólo se necesita una variable o coordenada independiente para describir el movimiento del péndulo, un péndulo de longitud constante en el plano tiene un grado de libertad.

 

Es necesario tomar en cuenta las ecuaciones restrictivas en la determinación de la cantidad de grados de libertad de un sistema. Por lo que se refiere a la configuración de un sistema especificado por n coordenadas. las cuales están relacionadas con m restricciones independientes, los grados de libertad N están dados por:

 

Un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad, tres componentes de la posición de un punto base y tres ángulos que definen su orientación. Un cuerpo elástico continuo, requerirá un número infinito de coordenadas (tres para cada punto), para definir su movimiento, por lo tanto tiene infinitos grados de libertad, sin embargo en muchos casos puede suponerse, que partes de dicho cuerpo son rígidos y el cuerpo puede definirse como dinámicamente equivalente a uno con número finito de grados de libertad. Por ejemplo toda estructura continúa tiene un número infinito de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de selección o idealización de un modelo matemático apropiado permite reducir los grados de libertad a un número discreto y en algunos casos a uno solo.

 

Se van a analizar, a continuación, las vibraciones en sistemas mecánicos.
Los objetivos primarios serán: comprender su naturaleza, estudiar algunos casos sencillos, proporcionar la base necesaria para acometer el estudio de problemas prácticos más complicados, e introducir los conceptos y magnitudes utilizados en los modernos equipos de medidas dinámicas.

 

Se estudiarán aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se introducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Los sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teoría de las Vibraciones porque:

• Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar por su estudio.
• Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl.
• Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas con más grados de libertad.
• Mediante la técnica del "análisis modal" los sistemas lineales con n gdl pueden resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Las figuras F5-1.1d, muestran algunos ejemplos de estructuras que pueden ser representadas como un sistema con un grado de libertad para el análisis dinámico.

 

Estructuras simples: pueden idealizarse como una masa "m" concentrada o agrupada soportada por una estructura sin masa con rigidez "k" en la dirección lateral.

Figura F5-1.1e

 

Ejemplo de movimiento vibratorio

 

 

Nota.- Muchos autores diferencian el concepto de vibración y oscilación de la siguiente manera:

 

Los términos movimiento, oscilación y vibración no son sinónimos. Toda vibración es una oscilación y toda oscilación es un movimiento, pero esta afirmación no puede hacerse en sentido inverso. Así, una rueda se mueve pero no oscila, y un péndulo simple oscila pero no vibra.

 

La diferencia específica que delimita el significado del concepto de vibración se encuentra, haciendo intervenir el concepto de energía. Tanto las oscilaciones como las vibraciones se prolongan en el tiempo mediante un proceso de conversión entre distintos tipos de energía. Así, en el péndulo simple los tipos de energía que intervienen son la energía cinética y la energía potencial gravitatoria. Pues bien, para que se pueda hablar de vibración de un sistema mecánico es necesario que aparezca un tipo de energía especial la ENERGÍA de DEFORMACIÓN o la ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (oelastoplástica).

 

5.1.2.- Estudio de sistemas sometidos a vibraciones.- En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. En verdad, sólo en algunos casos simples pueden obtenerse soluciones analíticas. Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una solución matemática que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la economía. El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el modelo matemático o modelo discretizado, esta es la designación simbólica del sistema idealizado de sustitución que incluye todas las simplificaciones impuestas al problema físico.

 

Modelo discretizado

 

Figura F5-1.2a.- Idealización de un sistema

 

Cuando el cuerpo o sistema a estudiar se aproxima a un modelo en el cual las masas reales se sustituye por masas concentradas, conectadas por resortes sin masas, el sistema recibe el nombre de "sistemas de parámetros localizados" o modelo discretizado (aquel cuya masa y elementos elásticos están separados o concentrados). En cambio, si se considera la masa del modelo o del sistema en su forma distribuida (son aquellos cuya masa y elementos elásticos están repartidos en el espacio físico), produciéndose una variación continúa del movimiento a través de su masa, se dice que el sistema es de "parámetros distribuidos". Solo estudiaremos el sistema de parámetros localizados

 

La discretización es ideal para sistemas que se encuentran en movimiento de traslación, pero no así en sistemas cuyos elementos tienen distintos tipos de movimiento, para la cual hay que considerarlos como tal, pero teniendo en cuenta las consideraciones del movimiento de 1 gdl.

 

5.1.3.- Formulación de ecuaciones del movimiento.- En la formulación se usa distintos métodos, como los que se enumera a continuación:

1. Ecuaciones de la Dinámica (Leyes de Newton y Euler)
2. Principio de D'Alambert
3. Principio de trabajos virtuales
4. Teoremas de la energía
5. Ecuaciones de Lagrange
6. Principio de Hamilton

 

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