3.3.3.- Ecuación de trabajo y energía cinética para el centro de masa.-

En 3.2.0.0.0.1 multiplicamos escalarmente ambos miembros por :

[]

Como:

Esté último, remplazándole en ():

Separando variables e integrando:

Nota.- Está ecuación se llama, principio de trabajo y energía cinética para el centro de masa; como se ve en 3.3.2.0.0.3 la energía cinética de un sistema de partículas, está conformado por la energía cinética del centro de masa y la energía cinética del movimiento con respecto al centro de masa. Por ejemplo; un cuerpo en general gira o se deforma (o ambos casos), el cuerpo tiene energía cinética adicional debido a sus cambios de orientación (movimiento angular) y/o debido a su deformación.

3.3.4.-Ecuación de trabajo y energía cinética para una partícula iésima:

Considerando a la fuerza resultante como , y :

Podemos anunciar:

"El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas sobre una partícula es igual al incremento de su energía cinética"

También:

Está ecuación última representa la tasa de trabajo, llamado generalmente "Potencia".

a).- Trabajo realizado por fuerzas específicas:

i).- constante.

ii).- fuerza central.

y

Ejemplo de movimiento debido a una fuerza central: Haga click aqui

b).- Para sistemas de fuerzas conservativas.- Si se tiene que:

La integral puede o no ser independiente de la trayectoria, es independiente de la trayectoria cuando el sistema de fuerzas es conservativo.

Un campo de fuerzas es conservativo si:

i).- es función solamente de la posición de la partícula, es decir:

ii).- Existe una función escalar tal que puede expresarse, como la gradiente de (función potencial) es decir:

Lo que, es lo mismo que el campo de fuerzas sea irrotacional:

iii).- Función energía Potencial (U).- Es igual al negativo de la función potencial.

constante que, depende del plano de referencia.

Luego:

4i).- Trabajo de un sistema de fuerzas conservativas:

Nota.- Se ve que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria; esto se da cuando el sistema de fuerzas es conservativo.

Ejemplos ilustrativos.- Calcular la función potencial y la función energía potencial, para:

1).- Un campo de fuerza gravitacional uniforme (cerca de la superficie terrestre) de una partícula de masa "m" situada a una altura Z.

y

2).- Una fuerza central gravitacional de dos masas separados una distancia "r ".

Separando variables e integrando:

Ejemplo de movimiento de la tierra alrededor del sol:

3).- Una fuerza elástica lineal.

Donde X es la deformación del resorte.

4).- Ley de Coulumb.- Fuerza central de partículas cargadas con y separadas una distancia " r ".

Donde es la constante del medio, donde se encuentran las partículas.

5i).- Variación de la Energía Potencial .- Se define como el negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa al moverse la partícula de la posición 1 a la posición 2.

La energía mecánica se conserva.

Ejemplo: Energía Cinética, Potencial y Mecánica para un pendulo doble.

c).- Forma alternativa del principio de trabajo y energía.- Un sistema de fuerzas puede estar conformado, por fuerzas conservativas y no conservativas, luego:

Ejemplo: Energía Cinética, Potencial, Perdida por rozamiento y Energía total, en un esquiador.

3.3.5.- Ecuación de trabajo y energía cinética para un sistema de partículas:

Sabemos que:

Esta ecuación corresponde al primer término de cada uno de los miembros de la ecuación general anterior, por consiguiente la ecuación general puede escribirse como dos ecuaciones independientes:

La primera ecuación describe la energía cinética del centro de masa, como si todas las partículas estuvieran concentradas ahí. La segunda ecuación describe la energía cinética de las partículas con respecto al centro de masa

Nota 1.- El hecho que la ecuación de trabajo energía cinética, puede escribirse como dos ecuaciones, simplifica la solución de los problemas mediante el método de energía

Nota 2.- Por el principio de trabajo y energía cinética siempre el trabajo en el sistema es igual al cambio de la energía cinética del sistema.

3.3.6.- Ecuaciones de Trabajo y Energía, para un sistema de partículas discretas:

Sabemos que:

[]

a).- Para fuerzas internas conservativas:

Donde es la energía potencial interna.

En () :

Donde a , se le llama energía propia.

b).- Para sistemas aislados, con fuerzas internas conservativas.

c).- Para fuerzas internas y externas conservativas.

En 3.3.6.2.0.0:

Donde es la energía total del sistema conservativo (también llamado energía mecánica del sistema).