Cinemática de una partícula

1.4.1.- Vectores unitarios y sus relaciones

Sea:

P_o Punto de Referencia sobre su trayectoria.

O Punto de referencia en _.

POPlano Osculador o plano contactante ( )

PNPlano Normal ( )

PRPlano Rectificador ( )

Figura F1-3.2.1a

En la figura F1-3.2.1a, cada punto, P, de una curva, de ecuación vectorial , se define el triedro intrínseco o triedro de Frenet, , constituido por:

vector tangente dirigido en el sentido del aumento de s_(t), además la velocidad es la proyección sobre este; el sentido positivo del vector se toma, en toda las posiciones, dirigido siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Como puede apreciarse en la figura F1-3.2.1a. Las fuerzas existentes a lo largo de estos tres vectores juegan un papel primordial en el movimiento, como se verá en la cinética; marca la dirección de avance, fija el cambio de dirección, obliga a seguir una determinada curva plana, y realiza el alabeo de la trayectoria.

El vector posición especifica la posición de P respecto al punto de referencia O y "s" mide la posición de P respecto a un punto P_o sobre su trayectoria.

Si:

Naturalmente la derivada de respecto a s será tangente a la curva de modo que podemos escribir:

vector unitario tangente

Dado que derivando respecto a s resulta:

, luego:

vector unitario normal principal

vector unitario binormal

Figura F1-3.2.1b

Para las derivadas respecto al parámetro arco, se usa habitualmente la notación

Por ello, las definiciones de y se pueden abreviar del siguiente modo:

Como características fundamentales del triedro de Frenet, cabe señalar que es:

Local, ya que se define en cada punto de la curva, y la dirección de sus vectores varía en general de un punto a otro. Intrínseco, ya que es característico de la geometría local de la curva, e independiente del sistema de coordenadas con el que se la describe. Ortonormal, ya que los tres vectores que lo constituyen son unitarios y ortogonales entre sí.
a).- Determinación de los vectores unitarios. Por definición sabemos:
	(1)
Si, , lo derivamos respecto a s: Figura F1-3.2.1c
Significando que, son perpendiculares. Como ya sabemos que es tangente a la trayectoria, será perpendicular (normal) a esa trayectoria. Para hallar el vector unitario normal a la trayectoria, dividimos por su módulo.
	(2)
b).- Cambio del Vector unitario respecto al tiempo en (ver F1-3.2.1d y F1-3.2.1e):
Figura F1-3.2.1d
Figura F1-3.2.1e
También de (2):

Inicio