Sea: un vector cualquiera, en función del tiempo
La derivada de con respecto al tiempo, es por definición:

Ver animación : ¿donde por donde?

Ejemplo

El disco gira alrededor de su eje horizontal apoyado sobre cojinetes, que descansan en tierra . El alambre de contorno circular está unido rígidamente al disco en los puntos A y B. Si es un vector definido por el segmento dirigido de O a A y es un vector definido por el segmento dirigido de O a P. ¿qué sucede con los vectores y , en el tiempo? [Ver Fig.].

Solución

1).- Si el disco y el alambre se comportan como cuerpos rígidos, y la magnitud de es constante. Surgiendo la pregunta ¿ cambia en el tiempo?
a).- Si nuestro marco de referencia es la tierra " ", cambia debido a la direccióm variable de en .
b).- Si viajamos sobre el "disco" , nuestra percepción sería, que es un vector costante (no cambia de dirección ni de magnitud).
Luego es un vector constante con respecto al disco y con respecto a la tierra es un vector de magnitud constante, pero de dirección variable.

2).- De la misma manera nos preguntamos ¿ cambia en el tiempo?
a).- Si el marco de referencia es la tierra " ", cambia debido a la dirección y magnitud variables de .
b).- Si nos encontramos en el disco "", cambia debido a su dirección y magnitud variables (movimiento circular), pero de distinta forma, que lo hace con respecto al marco tierra (no es un movimiento circular).

Concluyendo, que y no pueden ser evaluados a menos que se asocie a un marco de referencia.

Regresando al vector :

Si: son vectores unitarios mutuamente perpendiculares (linelmente independientes) y , y las parte identificables (escalares) correspondientes al vector .

De modo que:



Su derivada respecto al tiempo en el marco de referencia (arbitrario), es:



no necesitan indices de marcos de referencia, ya que son lo mismo en cualquier marco, por ser cantidades escalares.
Si: tienen direciones fijas en , serán constantes en ese marco de referencia, luego:



Nota: Para los problemas de ingenieria, en las que no se menciona el marco de referencia especifico, se toma de hecho a la tierra como marco de referencia primario (marco inercial o fijo).