Introducción a los marcos de referencia

1.7.1.- Derivada de un vector arbitrario en dos marcos de referencia

1.7.1.1.- En el plano

Sea:

Marco de referencia Inercial o primario.   Marco de referencia con movimiento de traslación (de su punto base) y/o rotación en .   OXYCoordenadas cartesianas en (ligado o pegado).   o'xy Coordenadas cartesianas en (ligado o pegado)   Vectores unitarios de "X" y "Y".   Vectores unitarios de "x" y "y".   Ángulo que localiza al eje "x" respecto a "X".   Vector arbitrario definido en el marco de referencia .   o' Punto base o conveniente (cuyo movimiento se conoce).

Figura F1-1.7.1.1

a).- Derivada de los vectores unitarios respecto al tiempo en :

b).- Derivada del vector respecto al tiempo en el marco :

c).- Derivada del vector respecto al tiempo en el marco :

Nota.- La velocidad angular nos permite relacionar las derivadas de cualquier vector en dos marcos de referencia diferentes.

Ejemplo : Movimiento en un marco móvil en el plano

1.7.1.2.- En el espacio.

a).- Cambio de los vectores unitarios respecto al tiempo, en .

i).-Si:

Derivándoles, con respecto al tiempo:

Los vectores unitarios, son perpendiculares a la derivada de sus vectores unitarios respectivos en . Lo que significa, que debe existir tres vectores para los cuales:

ii).- También sabemos, que:

La derivada de la primera relación de (3), nos da:

Sustituyendo (2) en (4):

Los triples productos escalares, son:

Luego, se tiene:

Igualmente de: obtenemos:

Lo que implica:

Lo, que nos dice, que los vectores son idénticos, llamando a los tres como ,tenemos:

iii).- En (2), la variación de los vectores unitarios, respecto al tiempo son:

4i).- Gráficamente:

Dividiendo entre dt:

Examinando está última ecuación, concluimos:

Del mismo modo, se obtiene:

b).- Derivada del vector respecto al tiempo en el marco :

c).- Derivada del vector respecto al tiempo en el marco :

Nota 1.- Es un vector que relaciona la derivada en dos marcos de referencia, por lo tanto no tiene sentido hablar de velocidades angulares de puntos.

Nota 2.- La Ecuación (I), será muy utilizada, por lo que. nos referiremos a él solo como (I).

Ejemplo : Movimiento en un marco móvil en el espacio